Det kan vara så att laddregulatorn har gett sig, men det kan också vara en kabel som har dålig kontakt/lossnat eller är trasig.
Eftersom lampan lyser när tändningen är påslagen så betyder det att regulatorns kol har kontakt med släpringarna på generatorns axel. Sedan är då frågan om kolen tappar kontakten när generatoraxeln snurrar, eller om generatorn egentligen laddar men att spänningen inte kommer fram till batteriet av någon anledning.
Du mätte ju bara på batteriet, jag tycker att du bör mäta på generatorn också för att se om det är korrekt spänning där. Mät alltså på den kabel som går till batteriet (kan vara startmotorn också). Det borde finnas en anslutning på generatorn som heter B+, där ska laddkabeln rimligtvis sitta som du ska mäta på.
Om du har rätt spänning på generatorn så kan felet sitta antingen i den där laddkabeln eller i generatorns jordning. Generatorn måste ju även ha jordkontakt med bilens batteri/kaross för att laddningen ska fungera. Då kan generatorn antingen ha jordkontakt med sitt chassie i sina fästen eller så sitter det en separat jordkabel från generatorn till motorblock/kaross.
Blev mycket text det där, hoppas att du hänger med.

Kolla upp dessa saker och skriv vilka resultat du får, var dock försiktig när du mäter vid generatorn med motorn igång så att du inte kommer åt remmar eller fläkt.