Börja med att kolla upp fläktremmarna (eller remmen) så att de är i bra skick och ordentligt spända, kika även hur remskivorna ser ut och rengör ifall de har mycket smuts/sot i spåren. Att den "drar ström" när du kör lugnt beror väl antagligen på att generatorn inte ger laddning, därför lyser också batterilampan.
Ta loss laddregulatorn på generatorns baksida och se hur kolen ser ut, är de ojämnt slitna eller helt enkelt ordentligt nedslitna så byt helst hela laddregulatorn istället för endast kolen. Gå igenom kablarna som sitter på generatorn, dvs den grova laddkabeln och jordkabeln och den tunna kabeln. Kolla så att dessa kablar sitter fast och har bra kontakt, även att de inte har trasiga kabelhöljen.
Att startmotorn inte fungerar när motorn är kall har jag inget bra svar på, men mät ifall det kommer spänning i den tunna kabeln på startmotorsolenoiden (stift 50) när du vrider nyckeln i startläge. Glappande tändlås kan orsaka såna där saker exempelvis.