Låter som att det kan vara startkontakten bakom tändningslåset, dvs att tändning, med mera inte får sin spänning samtidigt som du kör på starten.
Enklast kollar du detta genom att tillfälligt koppla en kabel mellan batteriets plusspol och tändspolens 15 anslutning (Blå kabel) och prova att starta den då.
En annan sak, kanske ett långskott är att startmotorn är lite krasslig och "stör ut" svänghjulsgivaren, alt att startmotorn drar så mycket så att spänningsfallet till övriga komponenter blir för högt.
Det är dom saker jag kan komma på som skulle fela om bilen går att rullstarta.
Men jag skulle börja med att kolla det förstnämnda vilket är fort och lätt gjort.